Question

11．四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，E點滿足$PE=\frac{1}{3}PD$
（1）求證：PA⊥平面ABCD；
（2）在線段BC上是否存在點F使得PF∥面EAC？若存在，確定F的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）證明BC⊥PA，CD⊥PA，即可證明：PA⊥平面ABCD；
（2）當F為BC中點時，PF∥面EAC，證明PF∥ES即可．

解答 （1）證明：在正方形ABCD中，AB⊥BC   
又∵PB⊥BC，AB∩PB=B，
∴BC⊥面PAB，∴BC⊥PA
同理CD⊥PA，
∵BC∩CD=C，∴PA⊥面ABCD
（2）解：當F為BC中點時，PF∥面EAC，理由如下：
∵AD∥2FC，∴$\frac{FS}{SD}=\frac{FC}{AD}=\frac{1}{2}$，
又由已知有$\frac{PE}{ED}$=$\frac{1}{2}$，∴PF∥ES
∵PF?面EAC，EC?面EAC，
∴PF∥面EAC．

點評 本題考查線面平行、線面垂直的證明，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．