Question

求適合下列條件的直線方程：

       (1)經(jīng)過點(diǎn)P(3,2)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等；

       (2)過點(diǎn)A(－1，－3)，斜率是直線y＝3x的斜率的－.

       (3)過點(diǎn)A(1，－1)與已知直線l₁：2x＋y－6＝0相交于B點(diǎn)，且 |AB|＝5.

Answer 1

解　(1)法一　設(shè)直線l在x，y軸上的截距均為a，若a＝0，即l過點(diǎn)(0,0)和(3,2)，

∴l的方程為y＝x，即2x－3y＝0.

若a≠0，則設(shè)l的方程為＋＝1，

∵l過點(diǎn)(3,2)，∴＋＝1，

∴a＝5，∴l的方程為x＋y－5＝0，

綜上可知，直線l的方程為2x－3y＝0或x＋y－5＝0.

法二　由題意，所求直線的斜率k存在且k≠0，

設(shè)直線方程為y－2＝k(x－3)，

令y＝0，得x＝3－，令x＝0，得y＝2－3k，

由已知3－＝2－3k，

解得k＝－1或k＝，

∴直線l的方程為y－2＝－(x－3)或y－2＝(x－3)，

即x＋y－5＝0或2x－3y＝0.

(2)設(shè)所求直線的斜率為k，依題意

k＝－×3＝－.

又直線經(jīng)過點(diǎn)A(－1，－3)，

因此所求直線方程為y＋3＝－(x＋1)，

即3x＋4y＋15＝0.

(3)過點(diǎn)A(1，－1)與y軸平行的直線為x＝1.

解方程組

求得B點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4)，此時(shí)|AB|＝5，

即x＝1為所求．

設(shè)過A(1，－1)且與y軸不平行的直線為y＋1＝k(x－1)，

解方程組

得兩直線交點(diǎn)為

(k≠－2，否則與已知直線平行)

則B點(diǎn)坐標(biāo)為.

由已知＝5²，

解得k＝－，∴y＋1＝－(x－1)，即3x＋4y＋1＝0.

綜上可知，所求直線的方程為x＝1或3x＋4y＋1＝0.