Question

1．若a，b，c∈（0，+∞），且a+b+c=2，求證：$\sqrt{a+1}$+$\sqrt{b+1}$+$\sqrt{c+1}$＜4．

Answer 1

分析 根據(jù)三維形式的柯西不等式便可得到$[（\sqrt{a+1}）^{2}+（\sqrt{b+1}）^{2}+（\sqrt{c+1}）^{2}][{1}^{2}+{1}^{2}+{1}^{2}]$$≥（\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}）^{2}$，從而便可得到$\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}≤\sqrt{15}$，并且可知當a=b=c=$\frac{2}{3}$時取“=”，從而便可證出$\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}＜4$．

解答 證明：根據(jù)柯西不等式：
$[（\sqrt{a+1}）^{2}+（\sqrt{b+1}）^{2}+（\sqrt{c+1}）^{2}][{1}^{2}+{1}^{2}+{1}^{2}]$$≥（\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}）^{2}$；
左邊=3（a+b+c+3）=15；
∴$\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}≤\sqrt{15}$；
當且僅當$\frac{\sqrt{a+1}}{1}=\frac{\sqrt{b+1}}{1}=\frac{\sqrt{c+1}}{1}$，即a=b=c=$\frac{2}{3}$時取“=”；
∴$\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}≤\sqrt{15}＜\sqrt{16}$；
即$\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}＜4$．

點評 考查三維形式的柯西不等式公式：$（{{a}_{1}}^{2}+{{a}_{2}}^{2}+{{a}_{3}}^{2}）（{_{1}}^{2}+{_{2}}^{2}+{_{3}}^{2}）≥$$（{a}_{1}_{1}+{a}_{2}_{2}+{a}_{3}_{3}）^{2}$，并且清楚等號成立的條件，放縮法在不等式證明中的應用．