Question

已知△ABC所在平面與直角梯形ACEF所在平面垂直,AF⊥AC,EB⊥AB,AF∥CE,AB=BC=CE=2AF=2,O為AC中點(diǎn).

(1)求證:面OBE⊥面ACEF;

(2)求面EFB與面ABC所成二面角的大小.

Answer 1

(1)證明:在△ABC中,AB=BC,O為AC中點(diǎn),

∴OB⊥AC.

∵平面ABC⊥平面ACEF,且平面ABC∩平面ACEF=AC,OB平面ABC,

∴OB⊥平面ACEF.又OB面OBE,

∴面OBE⊥面ACEF.

(2)解:延長(zhǎng)EF交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,連結(jié)BM,

則面EFB∩面ABC=BM.

作AH⊥BM于點(diǎn)H,連結(jié)FH,

∵平面ABC⊥平面ACEF,

且平面ABC∩平面ACEF=AC,AF⊥AC,

∴AF⊥平面ABC.

由三垂線定理得FH⊥BM,

因此,∠FAH為面EFB與面ABC所成二面角的平面角.

∵AF∥CE,AF⊥平面ABC,

∴CE⊥平面ABC.

又EB⊥AB,由三垂線定理的逆定理得BC⊥AB,

∵AF=1,且A為CM中點(diǎn),

在△MBO中,MO=3,OB=,

∴MB==2.

又Rt△MAH∽R(shí)t△MBO,

∴,

即AH=.

在△FAH中,tan∠FHA=,

面EFB與面ABC所成二面角的大小為arctan.