Question

19．如圖，橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右頂點分別為A，B，焦距為2$\sqrt{2}$，直線x=-a與y=b交于點D，且|BD|=3$\sqrt{2}$，過點B作直線l交直線x=-a于點M，交橢圓于另一點P．
（1）求橢圓的方程；
（2）證明：$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{OP}$為定值．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件列出$\left\{{\begin{array}{l}{\sqrt{{{（2a）}^2}+{b^2}}=3\sqrt{2}}\\{2c=2\sqrt{2}}\\{{a^2}={b^2}+{c^2}}\end{array}}\right.$，求解可得橢圓的方程．
（2）設M（-2，y₀），P（x₁，y₁），推出$\overrightarrow{OP}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow{OM}$=（-2，y₀）．直線BM的方程，代入橢圓方程，由韋達定理得x₁，y₁，然后求解$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{OP}$為定值．

解答 解：（1）由題可得$\left\{{\begin{array}{l}{\sqrt{{{（2a）}^2}+{b^2}}=3\sqrt{2}}\\{2c=2\sqrt{2}}\\{{a^2}={b^2}+{c^2}}\end{array}}\right.$，∴$\left\{{\begin{array}{l}{{a^2}=4}\\{{b^2}=2}\end{array}}\right.$，
∴橢圓的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$…（5分）
（2）A（-2，0），B（2，0），設M（-2，y₀），P（x₁，y₁），
則$\overrightarrow{OP}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow{OM}$=（-2，y₀）．
直線BM的方程為：$y=-\frac{y_0}{4}（x-2）$，即$y=-\frac{y_0}{4}x+\frac{1}{2}{y_0}$，…（7分）
代入橢圓方程x²+2y²=4，得$（1+\frac{y_0^2}{8}）{x^2}-\frac{y_0^2}{2}x+\frac{y_0^2}{2}-4=0$，…（8分）
由韋達定理得$2{x_1}=\frac{4（y_0^2-8）}{y_0^2+8}$，…（9分）
∴${x_1}=\frac{2（y_0^2-8）}{y_0^2+8}$，∴${y_1}=\frac{{8{y_0}}}{y_0^2+8}$，…（10分）
∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{OP}$=-2x₁+y₀y₁=-$\frac{4（{{y}_{0}}^{2}-8）}{{{y}_{0}}^{2}+8}$+$\frac{8{{y}_{0}}^{2}}{{{y}_{0}}^{2}+8}$=$\frac{4{{y}_{0}}^{2}+32}{{{y}_{0}}^{2}+8}$=4．
即$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{OP}$為定值．…（12分）．

點評 本題考查直線與橢圓的位置關系的綜合應用，橢圓的方程的求法，考查轉化思想以及計算能力，函數與方程的思想的應用．