Question

已知數列{a_n}滿足a1=a，an+1=

1

2-an

．
（Ⅰ）依次計算a₂，a₃，a₄，a₅；
（Ⅱ）猜想a_n的表達式，并用數學歸納法進行證明．

Answer 1

分析：（I）由已知條件，在 a1=a，an+1=

1

2-an

中分別令n=1，2，3，4，求出a₂，a₃，a₄，a₅．即可．
（II）由（1）猜想數列{a_n}的通項公式：an=

(n-1)-(n-2)a

n-(n-1)a

，，檢驗n=1時等式成立，假設n=k（k≥1）時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立．

解答：解：（I）分別令n=1，2，3，4，得：
a2=

1

2-a

，a3=

1

2-a 2

=

1

2-  1 2-a

=

2-a

3-2a

，
a4=

1

2-a 3

=

1

2- 2-a 3-2a

=

3-2a

4-3a

a5=

1

2-a 4

=

1

2- 3-2a 4-3a

=

4-3a

5-4a

．
（II）由此，猜想 an=

(n-1)-(n-2)a

n-(n-1)a

下面用數學歸納法證明此結論正確．
證明：（1）當n=1時，顯然結論成立  
（2）假設當n=k（k≥1）時，結論成立，即 ak=

(k-1)-(k-2)a

k-(k-1)a

那么ak+1=

1

2-a k

=

1

2- k-1-(k-2)a k-(k-1)a

=

k-(k-1)a

k+1-ka

，
也就是說，當n=k+1時結論成立．
根據（1）和（2）可知，結論對任意正整數n都成立，即 an=

(n-1)-(n-2)a

n-(n-1)a

點評：本題是中檔題，考查數列遞推關系式的應用，數學歸納法證明數列問題的方法，考查邏輯推理能力，計算能力．注意在證明n=k+1時務必用上假設．