Question

6．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A（1，0），B（0，-$\sqrt{3}$），點(diǎn)D是圓C：（x+1）²+y²=1上的動(dòng)點(diǎn)，則|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OD}$|的最大值為（　�。�

• A． 2
• B． $\sqrt{3}$+1
• C． $\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{3}$+2

Answer 1

分析 設(shè)D（x，y），-2≤x≤0，-1≤y≤1，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算得到$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OD}$=（x+1，y-$\sqrt{3}$），設(shè)|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OD}$|=m，得到m²=（x+1）²+（y-$\sqrt{3}$）²，由點(diǎn)D在圓上，聯(lián)立消去x得到m²=4-2$\sqrt{3}$y，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求出最大值．

解答 解：設(shè)D（x，y），-2≤x≤0，-1≤y≤1，
∵A（1，0），B（0，-$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OD}$=（x+1，y-$\sqrt{3}$），
設(shè)|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OD}$|=m，
∴m²=（x+1）²+（y-$\sqrt{3}$）²，
∵（x+1）²+y²=1，
∴m²=1-y²+（y-$\sqrt{3}$）²=4-2$\sqrt{3}$y，
∴當(dāng)y=-1時(shí)，m²有最大值，
即m²=4+2$\sqrt{3}$=（$\sqrt{3}$+1）²，
∴m=$\sqrt{3}$+1，
故|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OD}$|的最大值為$\sqrt{3}$+1．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及摸的計(jì)算和函數(shù)的單調(diào)性，得到m²=4-2$\sqrt{3}$y是本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．