Question

14．已知函數(shù)f（x）=log_a（x+1）（a＞1），若函數(shù)y=g（x）的圖象上任意一點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)Q的軌跡恰好是函數(shù)f（x）的圖象
（1）寫出函數(shù)y=g（x）的解析式；
（2）求不等式2f（x）+g（x）≥0的解集A；
（3）當(dāng)x∈A時(shí)，總有f（x）+g（x）≥m成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把函數(shù)稱問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的對(duì)稱：P（x，y）在函數(shù)y=g（x）的圖象上，則Q（-x，-y）在函數(shù)f（x）的圖象，y=g（x），得出-y=f（-x），y=-log（1-x），即可求解g（x）的圖象．
（2）2log_a（x+1）-log_a（1-x）≥0，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可
（3）分離參數(shù)得出：m≤log_a$\frac{1+x}{1-x}$恒成立，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=log_a$\frac{1+x}{1-x}$在[0，1）的值域問題．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=log_a（x+1）（a＞1），
函數(shù)y=g（x）的圖象上任意一點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)Q的軌跡恰好是函數(shù)f（x）的圖象．
∴設(shè)P（x，y）在函數(shù)y=g（x）的圖象上，則Q（-x，-y）在函數(shù)f（x）的圖象，y=g（x）
∴-y=f（-x），y=-log（1-x），
g（x）=-log_a（1-x）
（2）2log_a（x+1）-log_a（1-x）≥0，a＞1，
$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}\frac{（1+x）^{2}}{1-x}≥0}\\{-1＜x＜1}\end{array}\right.$，得解集[0，1）
（3）log_a（x+1）-log_a（1-x）≥m恒成立
即m≤log_a$\frac{1+x}{1-x}$恒成立，函數(shù)y=log_a$\frac{1+x}{1-x}$在[0，1）上值域[0，+∞）
所以m≤0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，不等式，分離參數(shù)問題，考查了學(xué)生的綜合解決問的能力，屬于中檔題．