Question

3．已知A，B為橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上的兩個動點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，滿足$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0．
（1）求證：$\frac{1}{|{\overrightarrow{OA}|}^{2}}$+$\frac{1}{|{\overrightarrow{OB}|}^{2}}$為定值；
（2）動點(diǎn)P在線段AB上，滿足$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{AB}$=0，求證：點(diǎn)P在定圓上．

Answer 1

分析 （1）設(shè)A（rcosθ，rsinθ）、B（kcosα，ksinα），則r=|$\overrightarrow{OA}$|，k=|$\overrightarrow{OB}$|，將A，B代入橢圓方程，再由向量垂直的坐標(biāo)表示，結(jié)合和角及同角的平方關(guān)系，化簡整理即可得證；
（2）運(yùn)用三角形的面積公式和勾股定理，化簡整理可得|$\overrightarrow{OP}$|=$\frac{6\sqrt{13}}{13}$，即可得到P的軌跡．

解答 證明：（1）設(shè)A（rcosθ，rsinθ）、B（kcosα，ksinα），
則r=|$\overrightarrow{OA}$|，k=|$\overrightarrow{OB}$|，
點(diǎn)A在橢圓上，即有$\frac{{r}^{2}co{s}^{2}θ}{4}$+$\frac{{r}^{2}si{n}^{2}θ}{9}$=1，可得
$\frac{1}{{r}^{2}}$=$\frac{co{s}^{2}θ}{4}$+$\frac{si{n}^{2}θ}{9}$；
由$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0得，cosθcosα+sinθsinα=0，即為cos（θ-α）=0，
即有cos²α=sin²θ，cos²θ=sin²α．
同理可得，$\frac{1}{{k}^{2}}$=$\frac{co{s}^{2}α}{4}$+$\frac{si{n}^{2}α}{9}$．
所以$\frac{1}{|{\overrightarrow{OA}|}^{2}}$+$\frac{1}{|{\overrightarrow{OB}|}^{2}}$=$\frac{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}{4}$+$\frac{co{s}^{2}α+si{n}^{2}α}{9}$
=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{9}$=$\frac{13}{36}$為定值；
（2）由三角形面積公式，得|$\overrightarrow{OP}$|•|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{OA}$|•|$\overrightarrow{OB}$|，
所以|$\overrightarrow{OP}$|²•|$\overrightarrow{AB}$|²=|$\overrightarrow{OA}$|²•|$\overrightarrow{OB}$|²，
由勾股定理可得，|$\overrightarrow{OP}$|²•（|$\overrightarrow{OA}$|²+|$\overrightarrow{OB}$|²）=|$\overrightarrow{OA}$|²•|$\overrightarrow{OB}$|²，
即有|$\overrightarrow{OP}$|²•（$\frac{1}{|{\overrightarrow{OA}|}^{2}}$+$\frac{1}{|{\overrightarrow{OB}|}^{2}}$）=1，
由（1）可得|$\overrightarrow{OP}$|²•$\frac{13}{36}$=1，即為|$\overrightarrow{OP}$|=$\frac{6\sqrt{13}}{13}$．

則點(diǎn)P在以原點(diǎn)為圓心，$\frac{6\sqrt{13}}{13}$為半徑的圓上．

點(diǎn)評 本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．