Question

已知等差數(shù)列{a_n}中，若a₂=23，a₅=17，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{a_n}前n項和S_n的最大值；
（3）設(shè)各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n．若b₃=a₈-7，T₃=7，求T_n．

Answer 1

分析：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由a₂=23，a₅=17可得關(guān)于首項和公差的方程組，解方程組可得其值，代入等差數(shù)列的通項公式可得；
（2）由通項公式可知數(shù)列的前13項為正數(shù)，從第14項開始為負值，由此可得；
（3）由（1）可得a₈，進而可得b₃，代入已知條件可得關(guān)于首項和公比的方程組，解此方程組代入等比數(shù)列的求和公式可得．

解答：解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
由a₂=23，a₅=17，得

a1+d=23 a1+4d=17

，
解得

a1═25 d=-2

，
∴a_n=25-2（n-1）=-2n+27
（2）由a_n=27-2n≥0，即n≤13.5，
∴數(shù)列的前13項為正數(shù)，從第14項開始為負值，
∴數(shù)列前13項和最大，由等差數(shù)列的求和公式可得
最大值為S₁₃=25×13+

13(13-1)

2

（-2）=169
（3）由（I）知a_n=27-2n，∴a₈=11，
∴b₃=a₈-7=4，
若公比q=1，則T₃=12，∴公比q≠1，
由等比數(shù)列的通項公式和求和公式可得

b1•q2=4 b1(1-q3) 1-q =7.

，
解得

q=2 b1=1

，或

q=- 2 3 b1=9

（各項均為正數(shù)，故q＞0，故舍去）
∴bn=2n-1，
∴Tn=

1-2n

1-2

=2n-1

點評：本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，熟練利用公式是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．