Question

“mn＜0”是方程“mx²+ny²=1表示雙曲線”的

1. A.
   充分但不必要條件
2. B.
   必要但不充分條件
3. C.
   充要條件
4. D.
   既不充分又不必要條件

Answer 1

C
分析：先證明充分性，把方程化為+=1，由“mn＜0”，可得、異號，可得方程表示雙曲線，由此可得“mn＜0”是方程“mx²+ny²=1表示雙曲線”的充分條件；再證必要性，先把方程化為+=1，由雙曲線方程的形式可得、異號，進而可得mn＜0，由此可得“mn＜0”是方程“mx²+ny²=1表示雙曲線”的必要條件；綜合可得答案．
解答：若“mn＜0”，則m、n均不為0，方程mx²+ny²=1，可化為+=1，
若“mn＜0”，、異號，方程+=1中，兩個分母異號，則其表示雙曲線，
故“mn＜0”是方程“mx²+ny²=1表示雙曲線”的充分條件；
反之，若mx²+ny²=1表示雙曲線，則其方程可化為+=1，
此時有、異號，則必有mn＜0，
故“mn＜0”是方程“mx²+ny²=1表示雙曲線”的必要條件；
綜合可得：“mn＜0”是方程“mx²+ny²=1表示雙曲線”的充要條件；
故選C．
點評：本題考查雙曲線的方程形式與充分必要條件的判斷，關鍵在于掌握二元二次方程mx²+ny²=1表示雙曲線條件．