Question

18．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n（n∈N^*），且滿足：
①|(zhì)a₁|≠|(zhì)a₂|；
②r（n-p）S_n+1=（n²+n）a_n+（n²-n-2）a₁，其中r，p∈R，且r≠0．
（1）求p的值；
（2）數(shù)列{a_n}能否是等比數(shù)列？請說明理由；
（3）求證：當(dāng)r=2時，數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．

Answer 1

分析 （1）n=1時，r（1-p）（a₁+a₂）=2a₁-2a₁，其中r，p∈R，且r≠0．又|a₁|≠|(zhì)a₂|．可得1-p=0，解得p．
（2）設(shè)a_n=ka_n-1（k≠±1），r（n-1）S_n+1=（n²+n）a_n+（n²-n-2）a₁，可得rS₃=6a₂，2rS₄=12a₃+4a₁，化為：r（1+k+k²）=6k，r（1+k+k²+k³）=6k²+2．聯(lián)立解得r，k，即可判斷出結(jié)論．
（3）r=2時，2（n-1）S_n+1=（n²+n）a_n+（n²-n-2）a₁，可得2S₃=6a₂，4S₄=12a₃+4a₁，6S₅=20a₄+10a₁．化為：a₁+a₃=2a₂，a₂+a₄=2a₃，a₃+a₅=2a₄．假設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項成等差數(shù)列，公差為d．利用已知得出a_n+1，即可證明．

解答 解：（1）n=1時，r（1-p）（a₁+a₂）=2a₁-2a₁，其中r，p∈R，且r≠0．又|a₁|≠|(zhì)a₂|．
∴1-p=0，解得p=1．
（2）設(shè)a_n=ka_n-1（k≠±1），r（n-1）S_n+1=（n²+n）a_n+（n²-n-2）a₁，∴rS₃=6a₂，2rS₄=12a₃+4a₁，
化為：r（1+k+k²）=6k，r（1+k+k²+k³）=6k²+2．聯(lián)立解得r=2，k=1（不合題意），舍去，因此數(shù)列{a_n}不是等比數(shù)列．
（3）證明：r=2時，2（n-1）S_n+1=（n²+n）a_n+（n²-n-2）a₁，∴2S₃=6a₂，4S₄=12a₃+4a₁，6S₅=20a₄+10a₁．
化為：a₁+a₃=2a₂，a₂+a₄=2a₃，a₃+a₅=2a₄．假設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項成等差數(shù)列，公差為d．
則2（n-1）$[n{a}_{1}+\frac{n（n-1）}{2}d+{a}_{n+1}]$=（n²+n）[a₁+（n-1）d]+（n²-n-2）a₁，化為a_n+1=a₁+（n+1-1）d，
因此第n+1項也滿足等差數(shù)列的通項公式，
綜上可得：數(shù)列{a_n}成等差數(shù)列．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式求和公式及其性質(zhì)、數(shù)列遞推關(guān)系、數(shù)學(xué)歸納法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．