Question

如圖所示，在四棱錐P—ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠DAB=60°，

對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，PO⊥平面ABCD，PB與平面ABCD所成角為60°.

（1）求四棱錐的體積；

（2）若E是PB的中點(diǎn)，求異面直線DE與PA所成角的余弦值.

Answer 1

（1）四棱錐P—ABCD的體積V_P—ABCD=×2×=2.   

（2）異面直線DE與PA所成角的余弦值為

解析:

（1）在四棱錐P—ABCD中，

∵PO⊥平面ABCD，

∴∠PBO是PB與平面ABCD所成的角，

即∠PBO=60°，                                                                        2分

在Rt△POB中，

∵BO=AB·sin30°=1，

又PO⊥OB，∴PO=BO·tan60°=,

∵底面菱形的面積S=2××2×2×=2.

∴四棱錐P—ABCD的體積

V_P—ABCD=×2×=2.                                                         8分

（2）取AB的中點(diǎn)F，連接EF，DF，

∵E為PB中點(diǎn)，∴EF∥PA，

∴∠DEF為異面直線DE與PA所成角（或其補(bǔ)角）.                         10分

在Rt△AOB中，

AO=AB·cos30°==OP，

∴在Rt△POA中，PA=6，∴EF=.                                                12分

在正三角形ABD和正三角形PDB中，DF=DE=，

由余弦定理得

∴cos∠DEF=                                                   14分

===.

所以異面直線DE與PA所成角的余弦值為.                                  16分