Question

【題目】已知函數(shù) （，為自然對數(shù)的底數(shù)，）.

（1）若函數(shù)僅有一個極值點，求實數(shù)的取值范圍；

（2）證明：當(dāng)時，有兩個零點（）.且滿足.

Answer 1

【答案】(1)；(2)證明見解析.

【解析】試題分析：

（1）由函數(shù)的解析式可得，則滿足題意時,方程必?zé)o解，分類討論：①當(dāng)時，符合題意；②當(dāng)時，，據(jù)此可得.即實數(shù)的取值范圍是.

（2）由（1）的結(jié)論可得，知當(dāng)時，為的唯一極小值點，且，，則，故.要證明，即證.，可轉(zhuǎn)化為，即，據(jù)此構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可知在區(qū)間上是減函數(shù)，，等價于成立，則原命題得證.

試題解析：

（1）

，

由，得或

因為僅有一個極值點，

所以關(guān)于的方程必?zé)o解，

①當(dāng)時，無解，符合題意；

②當(dāng)時，由，得，

故由，得.

故當(dāng)時，若，

則，此時為減函數(shù)，

若，則，此時為增函數(shù)，

所以為的唯一極值點，

綜上，可得實數(shù)的取值范圍是.

（2）由（1），知當(dāng)時，為的唯一極值點，且是極小值點，

又因為當(dāng)時，，

，，

所以當(dāng)時，有一個零點，

當(dāng)時，有另一個零點，

即，

且，

.①

所以.

下面再證明，即證.

由，得，

因為當(dāng)時，為減函數(shù)，

故只需證明，

也就是證明，

因為，

由①式，

可得.

令，

則.

令，

因為為區(qū)間上的減函數(shù)，且，所以，即

在區(qū)間上恒成立，

所以在區(qū)間上是減函數(shù)，即，所以，

即證明成立，

綜上所述，.