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已知橢圓C:的離心率為,長軸長為.
(Ⅰ)求橢圓的方程；
(Ⅱ)若直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn),試問：在y軸正半軸上是否存在一個定點(diǎn)M滿足,若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在,請說明理由．

（I）.（II）存在點(diǎn)滿足.

解析試題分析：（I）利用橢圓的幾何性質(zhì)得.
（II）通過研究時，可知滿足條件，若所求的定點(diǎn)M存在，則一定是P點(diǎn).
證明就是滿足條件的定點(diǎn).
將直線方程與橢圓方程聯(lián)立并整理，應(yīng)用韋達(dá)定理，將用坐標(biāo)表示，根據(jù)
得到使的點(diǎn).
試題解析：（I）由題意得，              2分
解得                3分
橢圓的方程為.                4分
（II）當(dāng)時，直線與橢圓交于兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，
設(shè)y軸上一點(diǎn),滿足, 即，
∴解得或（舍），
則可知滿足條件，若所求的定點(diǎn)M存在，則一定是P點(diǎn).        6分
下面證明就是滿足條件的定點(diǎn).
設(shè)直線交橢圓于點(diǎn),.
由題意聯(lián)立方程       8分
由韋達(dá)定理得，             9分

∴

            11分
∴，即在y軸正半軸上存在定點(diǎn)滿足條件.       12分
解法2：
設(shè)y軸上一點(diǎn),滿足, 即，        5分
設(shè)直線交橢圓于點(diǎn), .
由題意聯(lián)立方程       7分
由韋達(dá)定理得，             8分

∴

           10分
整理得，
由對任意k都成立，得
且
解得                                   11分
所以存在點(diǎn)滿足.                12分
考點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知圓,若橢圓的右頂點(diǎn)為圓的圓心，離心率為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若存在直線，使得直線與橢圓分別交于兩點(diǎn)，與圓分別交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，求圓的半徑的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知線段MN的兩個端點(diǎn)M、N分別在軸、軸上滑動，且，點(diǎn)P在線段MN上，滿足，記點(diǎn)P的軌跡為曲線W．
(1)求曲線W的方程，并討論W的形狀與的值的關(guān)系；
(2)當(dāng)時，設(shè)A、B是曲線W與軸、軸的正半軸的交點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線與曲線W交于C、D兩點(diǎn)，其中C在第一象限，求四邊形ACBD面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系中，已知過點(diǎn)的橢圓：的右焦點(diǎn)為，過焦點(diǎn)且與軸不重合的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，直線，分別交橢圓的右準(zhǔn)線于，兩點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，試求直線的方程；
（3）記，兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為，，試問是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，為原點(diǎn).
（1）如圖1，點(diǎn)為橢圓上的一點(diǎn)，是的中點(diǎn)，且，求點(diǎn)到軸的距離；

（2）如圖2，直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，若在橢圓上存在點(diǎn)，使四邊形為平行四邊形，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓,橢圓以的長軸為短軸,且與有相同的離心率.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A,B分別在橢圓和上, ,求直線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓：的離心率為，右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)在圓：上.
（Ⅰ）求橢圓和圓的方程；
（Ⅱ）已知過點(diǎn)的直線與橢圓交于另一點(diǎn)，與圓交于另一點(diǎn).請判斷是否存在斜率不為0的直線，使點(diǎn)恰好為線段的中點(diǎn)，若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（13分）點(diǎn)P為圓上一個動點(diǎn)，M為點(diǎn)P在y軸上的投影，動點(diǎn)Q滿足．
（1）求動點(diǎn)Q的軌跡C的方程；
（2）一條直線l過點(diǎn)，交曲線C于A、B兩點(diǎn)，且A、B同在以點(diǎn)D（0，1）為圓心的圓上，求直線l的方程。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)。
（Ⅰ）試問在軸上是否存在不同于點(diǎn)的一點(diǎn)，使得與軸所在的直線所成的銳角相等，若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在說明理由。
（Ⅱ）若的面積為，求向量的夾角；

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