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已知橢圓：的長軸長為4，且過點．
（１）求橢圓的方程；
（２）設、、是橢圓上的三點，若，點為線段的中點，、兩點的坐標分別為、，求證：．
（1）；（2）詳見試題解析．

試題分析：（1）由已知列方程組可求得的值，進而可得橢圓的標準方程；（2）利用平面向量的坐標運算和待定系數(shù)法可得線段的中點的軌跡是以，為焦點的橢圓，有橢圓的定義最終可得．
試題解析：(1)由已知 　　　　　　　　　　　　　　　　　    ２分
解得.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　            ４分
橢圓的方程為．　　　　　　　　　　　　　　　　           ５分
（２）設，則，．   6分
由,
得,即．    ７分
是橢圓上一點，所以
，　　　　　　　　　　　      ８分
即
得，故．    ９分
又線段的中點的坐標為，　　　　　　　      10分
，11分
線段的中點在橢圓上．　        12分
橢圓的兩焦點恰為， 　　       13分
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　          14分
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的左右焦點分別為，且經過點,為橢圓上的動點，以為圓心，為半徑作圓.
（1）求橢圓的方程；
（2）若圓與軸有兩個交點，求點橫坐標的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

橢圓的左、右焦點分別為F1(-1，0)，F(xiàn)2(1,0)，過F1作與x軸不重合的直線l交橢圓于A,B兩點.
(I)若ΔABF2為正三角形，求橢圓的離心率；
(II)若橢圓的離心率滿足,為坐標原點，求證:.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

橢圓的離心率為(　　)
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知對k∈R，直線y－kx－1＝0與橢圓恒有公共點，則實數(shù)m的取值范圍是（    ）
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，且過點.
（1）求橢圓的方程；
（2）若過點C（-1，0）且斜率為的直線與橢圓相交于不同的兩點，試問在軸上是否存在點，使是與無關的常數(shù)？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知為橢圓的兩個焦點，P為橢圓上，則此橢圓離心率的取值范圍是                                               (    )
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

在平面直角坐標系中，橢圓的標準方程為，右焦點為，右準線為，短軸的一個端點. 設原點到直線的距離為，點到的距離為. 若，則橢圓的離心率為    

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

設e是橢圓＝1的離心率，且e∈(，1)，則實數(shù)k的取值范圍是 (　　)
A．(0,3)B．(3，)
C．(0,3)∪(，＋∞)D．(0,2)

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