Question

19. 如圖，矩形ABCD的兩條對角線相交于點M（2，0），AB邊所在直線的方程為x-3y-6=0，點T（-1，1）在AD邊所在直線上.

（Ⅰ）求AD邊所在直線的方程；

（Ⅱ）求矩形ABCD外接圓的方程；

（Ⅲ）若動圓P過點N（-2，0），且與矩形ABCD的外接圓外切，求動圓P的圓心的軌跡方程.

Answer 1

解：（Ⅰ）因為AB邊所在直線的方程為x-3y-6=0，且AD與AB垂直，所以直線AD的斜率為-3.

又因為點T（-1，1）在直線AD上，

所以AD邊所在直線的方程為y-1= -3（x+1），

即3x+y+2=0.

（Ⅱ）由解得點A的坐標(biāo)為（0，-2）.

因為矩形ABCD兩條對角線的交點為M（2，0），

所以M為矩形ABCD外接圓的圓心.

又|AM|==2，

從而矩形ABCD外接圓的方程為（x-2）²+y²=8.

（Ⅲ）因為動圓P過點N，所以|PN|是該圓的半徑，又因為動圓P與圓M外切，

所以| PM |=| PN |+2，

即| PM | - | PN |=2.

故點P的軌跡是以M，N為焦點，實軸長為2的雙曲線的左支.

因為實半軸長a=，半焦距c=2，

所以虛半軸長b==.

從而動圓P的圓心的軌跡方程為=1（x≤ -）.