Question

15．已知△ABC中，AB=2$\sqrt{3}$，AC+$\sqrt{3}$BC=6，D為AB的中點，當CD取最小值時，△ABC面積為$\frac{3\sqrt{23}}{8}$．

Answer 1

分析 根據(jù)余弦定理，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得BC=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$時，CD的最小值為$\frac{\sqrt{6}}{2}$，由余弦定理求出cosB，進而求出sinB，代入三角形面積公式，可得答案

解答 解：∵AB=2$\sqrt{3}$，AC+$\sqrt{3}$BC=6，D為AB的中點，
根據(jù)余弦定理可得：AC²=AD²+CD²-2AD•CD•cos∠ADC，且CB²=BD²+CD²-2BD•CD•cos∠CDB，
即（6-$\sqrt{3}$BC）²=3+CD²-2$\sqrt{3}$CD•cos∠ADC，CB²=3+CD²-2$\sqrt{3}$•CD•cos∠CDB，
∵∠CDB=π-∠ADC，
∴（6-$\sqrt{3}$BC）²+CB²=6+2CD²-
∴CD²=2CB²-6$\sqrt{3}$BC+15=2（CB-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）²+$\frac{3}{2}$，
當BC=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$時，CD的最小值為$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
此時cosB=$\frac{B{C}^{2}+B{D}^{2}-C{D}^{2}}{2•BC•BD}$=$\frac{\frac{27}{4}+3-\frac{6}{4}}{2×\frac{3\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3}}$=$\frac{11}{12}$，
∴sinB=$\frac{\sqrt{23}}{12}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×$\frac{3\sqrt{3}}{2}$×2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{23}}{12}$=$\frac{3\sqrt{23}}{8}$，
故答案為：$\frac{3\sqrt{23}}{8}$．

點評 本題考查的知識點是余弦定理的應用，三角形面積公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，難度中檔