Question

6．等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=$\frac{1}{2}$，前三項(xiàng)和為$\frac{9}{2}$，點(diǎn)P_n（a_n，b_n）（n∈N^*）在函數(shù)y=log₃2x的圖象上．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若c_n=3^b_n+2ⁿ，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出等差數(shù)列的首項(xiàng)與通項(xiàng)公式，即可求解數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，利用P_n（a_n，b_n）（n∈N^*）在函數(shù)y=log₃2x的圖象上即可求解{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）化簡(jiǎn)c_n=3^b_n+2ⁿ，利用等差數(shù)列以及等比數(shù)列求和公式求解數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答 解：（ I）等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=$\frac{1}{2}$，前三項(xiàng)和為$\frac{9}{2}$，a₂=$\frac{3}{2}$，
等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=$\frac{1}{2}$，公差d=1，故a_n=n-$\frac{1}{2}$，
即數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為：a_n=n-$\frac{1}{2}$；
點(diǎn)P_n（a_n，b_n）在函數(shù)y=log₃2x的圖象上，則b_n=log₃2a_n=log₃（2n-1），
即數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式為b_n=log₃（2n-1），．
（ II）c_n=3^b_n+2ⁿ=2n-1+2ⁿ，
S_n=（1+3+5+…+（2n-1））+（2¹+2²+…+2ⁿ）=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$+$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$=n²+2ⁿ⁺¹-2，
數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n=n²+2ⁿ⁺¹-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，等差數(shù)列以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列求和的基本方法的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．