Question

已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為原點(diǎn),其焦點(diǎn)到直線(xiàn):的距離為.設(shè)為直線(xiàn)上的點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作拋物線(xiàn)的兩條切線(xiàn),其中為切點(diǎn).

(Ⅰ) 求拋物線(xiàn)的方程；

(Ⅱ) 當(dāng)點(diǎn)為直線(xiàn)上的定點(diǎn)時(shí),求直線(xiàn)的方程；

(Ⅲ) 當(dāng)點(diǎn)在直線(xiàn)上移動(dòng)時(shí),求的最小值.

Answer 1

解：(Ⅰ) 依題意,設(shè)拋物線(xiàn)的方程為,由結(jié)合,

解得.

   所以?huà)佄锞�(xiàn)的方程為.  …… 4分

   (Ⅱ) 拋物線(xiàn)的方程為,即,求導(dǎo)得

設(shè),(其中),

則切線(xiàn)的斜率分別為,,

所以切線(xiàn)的方程為,即,即

同理可得切線(xiàn)的方程為

因?yàn)榍芯�(xiàn)均過(guò)點(diǎn),所以,

所以為方程的兩組解.

所以直線(xiàn)的方程為.  …… 8分

(Ⅲ) 由拋物線(xiàn)定義可知,,

所以

聯(lián)立方程,消去整理得

由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得,

所以

又點(diǎn)在直線(xiàn)上,所以,

所以

所以當(dāng)時(shí), 取得最小值,且最小值為.  …… 13分