Question

已知f（x）=（x³+bx²+cx+d）•e^x，且f（0）=4-5b，x=1為f（x）的極值點(diǎn)，g（x）=（2x+2）•e^-2x．
（I）若f（x）在（2，+∞）上遞增，求b的取值范圍；
（II）對(duì)任意x₁∈[0，1]，存在x₂使得f（x₁）=g（x₂）成立，求b的取值范圍．

Answer 1

（I）由f（0）=4-5b得d=4-5b，
又f′（x）=[x³+（b+3）x²+（c+2b）x+c+d]e^x
∵x=1為f（x）的極值點(diǎn)
∴f′（1）=0
得c=b-4
f（x）=[x³+bx²+（b-4）x+4-5b]•e^x，
f′（x）=（x+b）（x²+3x-4）e^x≥0，?x∈（2，+∞）恒成立，
b≥-2
（II）由g′（x）=e^-2x（-4x-2）得，g（x）在(-∞，-

1

2

)上遞增，在(-

1

2

，+∞)上遞減．
故g（x）的值域?yàn)椋?∞，e]，
f′（x）=（x+b）（x²+3x-4）e^x=（x+b）（x+4）（x-1）e^x
①當(dāng)-b≥1即b≤-1時(shí)，f（x）在[0，1]上遞增
所以f（x）的值域?yàn)閇4-5b，1-3b]
∵對(duì)任意x₁∈[0，1]，存在x₂使得f（x₁）=g（x₂）成立
∴1-3b≤e
此時(shí)無(wú)解
②當(dāng)0≤-b≤1即-1≤b≤0時(shí)，f（x）在[0，-b]上遞增，在[-b，1]上遞減
∴當(dāng)x=-b時(shí)，f（x）有最大值為f（-b）=e^-b（-b²-b+4）
∵對(duì)任意x₁∈[0，1]，存在x₂使得f（x₁）=g（x₂）成立
∴e^-b（-b²-b+4）≤e
解得不存在b
③當(dāng)b＞0時(shí)
f（x）在[0，1]上遞減
∴f（x）的值域?yàn)閇1-3b，4-5b]
∵對(duì)任意x₁∈[0，1]，存在x₂使得f（x₁）=g（x₂）成立
∴4-5b≤e
解得b≥

4

5

-

e

5