Question

如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是CD的中點(diǎn)．
(1)求證：A₁C∥平面AD₁E；
(2)在對角線A₁C上是否存在點(diǎn)P，使得DP⊥平面AD₁E？若存在，求出CP的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

(1)證明：如圖，連接A1D交AD1于點(diǎn)F，連接EF， 因?yàn)樗倪呅蜛DD1A1是正方形，所以F是A1D的中點(diǎn)， 又E是CD的中點(diǎn)，所以EF∥A1C， 因?yàn)镋F平面AD1E，A1C平面AD1E， 所以A1C∥平面AD1E． (2)解：在對角線A1C上存在點(diǎn)P，且當(dāng)時(shí)，DP⊥平面AD1E。 證明如下：因?yàn)樗倪呅蜛DD1A1是正方形，所以AD1⊥A1D， 因?yàn)镃D⊥平面ADD1A1，AD1平面ADD1A1，所以CD⊥AD1， 又因?yàn)锳1D∩CD=D，所以AD1⊥平面A1CD， 因?yàn)锳D1平面AD1E， 所以平面AD1E⊥平面A1CD， 作DP⊥A1C于P，因?yàn)镋F∥A1C，所以DP⊥EF， 因?yàn)镈P平面A1CD，平面A1CD∩平面AD1E=EF， 所以DP⊥平面AD1E， 由Rt△A1CD∽Rt△DCP，得， 所以當(dāng)時(shí)，DP⊥平面AD1E。