Question

9．（1+$\frac{1}{{x}^{2}}$）（x+$\frac{1}{x}$）⁶展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（　�。�

• A． 35
• B． 30
• C． 20
• D． 10

Answer 1

分析 （1+$\frac{1}{{x}^{2}}$）（x+$\frac{1}{x}$）⁶=（x+$\frac{1}{x}$）⁶+x^-2（x+$\frac{1}{x}$）⁶，將（1+$\frac{1}{{x}^{2}}$）（x+$\frac{1}{x}$）⁶展開式中的常數(shù)項(xiàng)轉(zhuǎn)化為（x+$\frac{1}{x}$）⁶的常數(shù)項(xiàng)加上（x+$\frac{1}{x}$）⁶的含x²項(xiàng)的系數(shù)，利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，即可得出結(jié)論．

解答 解：因?yàn)椋?+$\frac{1}{{x}^{2}}$）（x+$\frac{1}{x}$）⁶=（x+$\frac{1}{x}$）⁶+x^-2（x+$\frac{1}{x}$）⁶
所以（1+$\frac{1}{{x}^{2}}$）（x+$\frac{1}{x}$）⁶展開式中的常數(shù)項(xiàng)為：（x+$\frac{1}{x}$）⁶的常數(shù)項(xiàng)加上（x+$\frac{1}{x}$）⁶的含x²項(xiàng)的系數(shù)，
（x+$\frac{1}{x}$）⁶的展開式的通項(xiàng)為T_r+1=${C}_{6}^{r}{x}^{6-2r}$，
令6-2r=0得r=3，所以（x+$\frac{1}{x}$）⁶的常數(shù)項(xiàng)為20，
令6-2r=2得r=2所以（x+$\frac{1}{x}$）⁶的含x²項(xiàng)的系數(shù)為15，
所以（1+$\frac{1}{{x}^{2}}$）（x+$\frac{1}{x}$）⁶展開式中的常數(shù)項(xiàng)為20+15=35．
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題考查等價(jià)轉(zhuǎn)化的能力、考查利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)展開式的特殊項(xiàng)問題，屬于中檔題．