Question

設(shè)f(x)是定義在R上的增函數(shù),若不等式f(1－ax－ )<f(2－a)對任意x∈[0,1]都成立,求實數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

解析：∵f(x)是R上的增函數(shù).　　∴不等式f(1－ax－ )<f(2－a) 對任意x∈[0,1]都成立.
　　 不等式1－ax－ <2－a　　 對任意x∈[0,1]都成立　 +ax－a+1>0　　 對任意x∈[0,1]都成立①
　　解法一: (向最值問題轉(zhuǎn)化,以對稱軸的位置為主線展開討論.)
　　令g(x)= +ax－a+1,　　
則①式 g(x)>0對任意x∈[0,1]都成立. g(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值大于0.②注意到g(x)圖象的對稱軸為x=－
　　(1)當－ ≤0即a≥0時,　由②得g(0)>0 －a+1>0 a<1,即0≤a<1;
　　(2)當0<－ ≤1時,即－2≤a<0時,　由②得g(－ )>0 1－a－ >0 +4a－4<0<8
　　當－2≤a<0時,這一不等式也能成立.
　　(3)當－ >1即a<－2時.由②得g(1)>0 2>0即當a<－2時,不等式成立.
　　于是綜合(1)(2)(3)得所求實數(shù)a的取值范圍為[0,1）∪[－2,0]∪(－∞,－2),　即 (－∞,1).
　　解法二: (以△的取值為主線展開討論)對于二次三項式g(x)= +ax－a+1,
其判別式△= +4(a－1)　= +4a－4△<0<8 － －2<a< －2
　　(1)當△<0時,g(x)>0對任意x∈[0,1]都成立,此時－ －2<a< －2;
　　(2)當△≥0時,由g(x)>0對任意x∈[0,1]都成立得
　　  
　　  －2≤a<1　　 或a≤－ －2.
于是由(1)(2)得所求a的取值范圍為（－ －2, －2）∪[ －2,1）∪(－∞, － －2]　即 (－∞,1).