Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

ax3+bx2-ax+20（a≠0）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在x=3處取得極值2，求a，b的值；
（Ⅱ）當(dāng)2b=1-a²時，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用函數(shù)f（x）在x=3處取得極值2，得到兩個條件f（3）=2，f'（3）=0，利用兩個條件解a，b的值
（Ⅱ）由2b=1-a²，代入進(jìn)行消元，然后求導(dǎo)，討論a的取值范圍，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．

解答：解：f'（x）=ax²+2bx-a．
（Ⅰ）因f（x）在x=3處有極值2，所以有

f′(3)=0 f(3)=2

，即

9a+6b-a=0 9a+9b-3a+20=2

，
解得

a=3 b=-4

，經(jīng)檢驗a=3，b=-4符合題意．
所以，當(dāng)f（x）在x=3處有極值2時，a=3，b=-4．
（Ⅱ）因2b=1-a²，所以f'（x）=ax²+（1-a²）x-a=（x-a）（ax+1）
令f'（x）=0，得x=a，x=-

1

a

．
①當(dāng)a＞0時，由-

1

a

＜a，由f'（x）＞0，解得函數(shù)在(-∞，-

1

a

)，（a，+∞），函數(shù)遞增；
由f'（x）＜0，解得(-

1

a

，a)，函數(shù)遞減．
所以f（x）的增區(qū)間為(-∞，-

1

a

)，（a，+∞），減區(qū)間為(-

1

a

，a)．
②當(dāng)a＜0時，得-

1

a

＞a．由f'（x）＜0，解得（-∞，a），(-

1

a

，+∞)，此時函數(shù)遞減．
由f'（x）＞0，解得在(a，-

1

a

)單調(diào)遞增．
所以f（x）得增區(qū)間為(a，-

1

a

)，減區(qū)間為（-∞，a），(-

1

a

，+∞)．
綜上所述，當(dāng)a＞0時，f（x）得增區(qū)間為(-∞，-

1

a

)，（a，+∞），減區(qū)間為(-

1

a

，a)；
當(dāng)a＜0時，f（x）得增區(qū)間為(a，-

1

a

)，減區(qū)間為（-∞，a），(-

1

a

，+∞)．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值以及函數(shù)的單調(diào)性問題．對應(yīng)含有參數(shù)的導(dǎo)數(shù)，要對參數(shù)進(jìn)行分類討論．