Question

【題目】如圖所示的幾何，底為菱形，，.平面底面，，，.

（1）證明：平面平面；

（2）求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）推導(dǎo)出，從而平面，進而.再由，得平面，推導(dǎo)出，從而平面，由此能證明平面平面；
（2）取中點G，從而平面，以、、所在直線分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角的余弦值.

解：（1）由題意可知，

又因為平面底面，所以平面，

從而.

因為，所以平面，

易得，，，

所以，故.

又，所以平面.

又平面，所以平面平面；

（2）取中點G，，相交于點O，連結(jié)，易證平面，

故、、兩兩垂直，以O為坐標原點，以、、所在直線分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，

所以，，.

由（1）可得平面的法向量為.

設(shè)平面的法向量為，

則即

令，得，

所以.

從而，

故二面角的正弦值為.