Question

已知函數(shù)
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若不等式對任意的n∈rmN^*都成立（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)）．求a的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）①函數(shù)f（x）的定義域是（-1，+∞）求f′（x）判斷f′（x）正負②由于f′（x）比較復雜令分子為g（x）判斷g（x）單調(diào)性從而判斷函數(shù)值正負③再令h（x）=g′（x），可求當-1＜x＜0時，h'（x）＞0，h（x）在（-1，0）上為增函數(shù)，當x＞0時，h'（x）＜0，h（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)h（x）在x=0處取得極大值，而h（0）=0，所以g'（x）＜0函數(shù)g（x）在（-1，+∞）上為減函數(shù)于是當-1＜x＜0時，g（x）＞g（0）=0，當x＞0時，g（x）＜g（0）=0．
（Ⅱ）借用（Ⅰ）結論將題設中不等式變形即可求出a最大值．
解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域是（-1，+∞），
設g（x）=2（1+x）ln（1+x）-x²-2x，則g'（x）=2ln（1+x）-2x．
令h（x）=2ln（1+x）-2x，則
當-1＜x＜0時，h'（x）＞0，h（x）在（-1，0）上為增函數(shù)，
當x＞0時，h'（x）＜0，h（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)．
所以h（x）在x=0處取得極大值，而h（0）=0，所以g'（x）＜0（x≠0），
函數(shù)g（x）在（-1，+∞）上為減函數(shù)．
于是當-1＜x＜0時，g（x）＞g（0）=0，
當x＞0時，g（x）＜g（0）=0．
所以，當-1＜x＜0時，f'（x）＞0，f（x）在（-1，0）上為增函數(shù)．
當x＞0時，f'（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)．
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，0），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞）．
（Ⅱ）不等式等價于不等式
由知，
設，
則
由（Ⅰ）知，，即（1+x）ln²（1+x）-x²≤0．
所以G'（x）＜0，x∈（0，1]，于是G（x）在（0，1]上為減函數(shù)．
故函數(shù)G（x）在（0，1]上的最小值為
所以a的最大值為
點評：本題考查函數(shù)單調(diào)性問題由于導函數(shù)過于復雜方法中多次求導