Question

已知橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（1，

3

2

），且其右焦點(diǎn)與拋物線C₂：y²=4x的焦點(diǎn)F重合，過(guò)點(diǎn)F且與坐標(biāo)軸不垂直的直線與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段OF上是否存在點(diǎn)N（n，0），使得

QP

•

NP

=

PQ

•

NQ

？若存在，求出n的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由；
（3）過(guò)點(diǎn)P₀（4，0）且不垂直于x軸的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為E，試證明：直線AE過(guò)定點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出

1 a2 + 9 4 b2 =1 a2-b2=1

，由此能求出橢圓的方程．
（2）設(shè)直線PQ的方程為：y=k（x-1），k≠0，代入

x2

4

+

y2

3

=1，得（3+4k²）x²-8k²x+8k²-12=0，由已知條件推導(dǎo)出直線NR的方程為：y+

3k

3+4k2

=-

1

k

（x-

4k2

3+4k2

），由此能求出線段OF上存在點(diǎn)N（n，0），使得

QP

•

NP

=

PQ

•

NQ

，其中n∈（0，

1

4

）．
（3）設(shè)直線AB的方程為：y=k（x-4），k≠0，代入

x2

4

+

y2

3

=1，得（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0，由根的判別式得到k∈（-

1

2

，

1

2

），設(shè)A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），E（x₄，-y₄），由已知條件推導(dǎo)出直線AE的方程為y-y₃=

y3+y4

x3-x4

(x-x3)，由此能證明直線AE過(guò)定點(diǎn)（1，0）．

解答： （1）解：∵橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）右焦點(diǎn)與拋物線C₂：y²=4x的焦點(diǎn)F重合，
∴F（1，0），
又∵橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（1，

3

2

），
∴

1 a2 + 9 4 b2 =1 a2-b2=1

，解得

a2=4 b2=3

，
∴橢圓的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）解：設(shè)直線PQ的方程為：y=k（x-1），k≠0，
代入

x2

4

+

y2

3

=1，得：
（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
△=（-8k²）²-4（3+4k²）（4k²-12）＞0恒成立．
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），線段PQ的中點(diǎn)為R（x₃，y₃），
則x3=

x1+x2

2

=

4k2

3+4k2

，y3=k(x3-1)=-

3k

3+4k2

，
由

QP

•

NP

=

PQ

•

NQ

，得：

PQ

•(

NQ

+

NP

)=

PQ

•(2

NR

)=0，
∴直線NR為直線PQ 的垂直平分線，
直線NR的方程為：y+

3k

3+4k2

=-

1

k

（x-

4k2

3+4k2

），
令y=0得：N點(diǎn)的橫坐標(biāo)n=

k2

3+4k2

=

1

3 k2 +4

，
∵k²∈（0，+∞），∴

3

k2

+4∈(4，+∞)，∴n∈（0，

1

4

）．
線段OF上存在點(diǎn)N（n，0），使得

QP

•

NP

=

PQ

•

NQ

，其中n∈（0，

1

4

）．
（3）證明：設(shè)直線AB的方程為：y=k（x-4），k≠0，
代入

x2

4

+

y2

3

=1，得：
（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0，
由△=（-32k²）²-4（3+4k²）（64k²-12）＞0，得：k∈（-

1

2

，

1

2

），
設(shè)A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），E（x₄，-y₄），
則x3+x4=

32k2

3+4k2

，x3x4=

64k2-12

3+4k2

，
則直線AE的方程為y-y₃=

y3+y4

x3-x4

(x-x3)，
令y=0得：x=-y3•

x3-x4

y3+y4

+x3
=

x3y4+x4y3

y3+y4

=

x3•k(x4-4)+x4•k(x4-4)

k(x3+x4-8)

=

2x3x4-4(x3+x4)

x3+x4-8

=

2• 64k2-12 3+4k2 -4• 32k2 3+4k2

32k2 3+4k2 -8

=1．
∴直線AE過(guò)定點(diǎn)（1，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查線段上滿(mǎn)足條件的點(diǎn)是否存在的判斷與求法，考查直線恒過(guò)定點(diǎn)的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意直線與橢圓的位置關(guān)系的合理運(yùn)用．