Question

已知數(shù)列{x_n}滿(mǎn)足，且T_2n=a₁+2a₂+3a₃+…+（2n-1）a_2n-1+2na_2n．
（Ⅰ）求x_n的表達(dá)式；
（Ⅱ）求T_2n；
（Ⅲ）若，試比較9T_2n與Q_n的大小，并說(shuō)明理由

Answer 1

【答案】分析：（I）由∵，可用累加法求解；
（Ⅱ）由x_n求得a_n從而得到T_2n，觀察其結(jié)構(gòu)是一個(gè)等差數(shù)列與等比數(shù)列積的形式，可用錯(cuò)位相減法求解．（Ⅲ）由（Ⅱ）可得再與Q_n比較．
解答：解：（I）∵，
∴x_n=x₁+（x₂-x₁）+（x₃-x₂）++（x_n-x_n-1）
=
==（4分）
當(dāng)n=1時(shí)上式也成立，∴（5分）
（Ⅱ）
∵T_2n=a₁+2a₂+3a₃++（2n-1）a_2n-1+2na_2n=①
∴②
①-②，得（8分）
∴（10分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得
當(dāng)n=1時(shí)，2²ⁿ=4，（2n+1）²=9，∴9T_2n＜Q_n；（11分）
當(dāng)n=2時(shí)，2²ⁿ=16，（2n+1）²=25，∴9T_2n＜Q_n；（12分）
當(dāng)n≥3時(shí)，2²ⁿ=[（1+1）ⁿ]²=（C_n+C_n¹+C_n²++C_nⁿ）²＞（2n+1）²．∴9T_2n＞Q_n．
綜上所述，當(dāng)n=1，2時(shí)，9T_2n＜Qn；當(dāng)n≥3時(shí)，9T_2n＞Qn．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查累加法求數(shù)列通項(xiàng)，錯(cuò)位相減法求和以及數(shù)列的比較滲透了不等式問(wèn)題．