Question

11．已知數(shù)列{a_n}中，a_n=（n+1）•（$\frac{9}{10}$）ⁿ是否存在自然數(shù)m，使得對(duì)于一切n∈N^*，都有a_n≤a_m．若存在，求出m，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 作差a_n+1-a_n=$（\frac{9}{10}）^{n}$×$\frac{8-n}{10}$，對(duì)n分類討論，即可得出．

解答 解：∵a_n+1-a_n=（n+2）$•（\frac{9}{10}）^{n+1}$-（n+1）•（$\frac{9}{10}$）ⁿ=$（\frac{9}{10}）^{n}$×$\frac{8-n}{10}$，
∴當(dāng)n＜8時(shí)，a_n+1＞a_n；
當(dāng)n=8時(shí)，a_n+1=a_n；
當(dāng)n＞8時(shí)，a_n+1＜a_n．
綜上可得：a₁＜a₂＜…＜a₈=a₉＞a₁₀＞…．
因此存在自然數(shù)m=8或9，使得對(duì)于一切n∈N^*，都有a_n≤a_m．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的單調(diào)性、分類討論方法，考查了推理能力、計(jì)算能力，屬于中檔題．