Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面，，，，為的中點，．

（1）求的長；

（2）求二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）連接交于點，等腰三角形中利用“三線合一”證出，因此分別以、所在直線分別為軸、軸建立空間直角坐標系如圖所示．結合題意算出、、、

各點的坐標，設，根據為邊的中點且，算出，從而得到，可得的長；（2）由（1）的計算，得，，．利用垂直向量數量積為零的方法建立方程組，解出和分別為平面、平面的法向量，利用空間向量的夾角公式算出、夾角的余弦，結合同角三角函數的平方關系即可算出二面角的正弦值．

試題解析：（1）如圖，連接交于點，

∵，平分角，∴，

以為坐標原點，、所在直線分別為軸、軸，建立空間直角坐標系，

則，而，可得，

又∵，

∴可得，，，，

由于⊥底面，可設，

∵為邊的中點，∴，由此可得，

∵，且，

∴，解得（舍負），

因此，，可得的長為．

（2）由（1）知，，，

設平面的法向量為，平面的法向量為，

∵，且，∴，取，得，

同理，由且，解出．

∴向量，的夾角余弦值為，

因此，二面角的正弦值等于．