Question

如圖，某建筑物的基本單元可近似地按以下方法構(gòu)作：先在地平面內(nèi)作菱形ABCD，邊長(zhǎng)為1，∠BAD＝60°,再在的上方，分別以△與△為底面安裝上相同的正棱錐P－ABD與Q－CBD，∠APB＝90°．

（Ⅰ）求證：PQ⊥BD；

（Ⅱ）求二面角P-BD-Q的余弦值；

（Ⅲ）求點(diǎn)P到平面QBD的距離.

Answer 1

(1)證明見(jiàn)解析(2) (3)

解析:

（Ⅰ）由P-ABD，Q-CBD是相同正三棱錐，可知△PBD與△QBD是全等等腰三角形  …１分

取BD中點(diǎn)E，連結(jié)PE、QE，則BD⊥PE，BD⊥QE．故BD⊥平面PQE，從而B(niǎo)D⊥PQ．  ………4分

（Ⅱ）由（1）知∠PEQ是二面角P-BD-Q的平面角                     ……………………５分

作PM⊥平面，垂足為M，作QN⊥平面，垂足為N，則PM∥QN，M、N分別是正△ABD與正△BCD的中心，從而點(diǎn)A、M、E、N、C共線，PM與QN確定平面PACQ，且PMNQ為矩形．  ……可得ME=NE=，PE=QE=，PQ=MN=…7分∴cos∠PEQ＝   ………9分

（Ⅲ）由（1）知BD⊥平面PEQ．設(shè)點(diǎn)P到平面QBD的距離為h，則

  ∴．

∴　．　　∴　．                              …………………………14分