Question

已知函數(shù)f（x）=

sinx

3 cosx

-x（0＜x＜

π

2

）；
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性并求極值；
（2）若x∈（0，

π

2

]，求g（x）=

1

sin2x

-

1

x2

的最大值．

Answer 1

分析：（1）用求導法則，得到函數(shù)的導數(shù)f′（x），采用換元法：設(shè)t=

3	cosx

，討論f′（x）的單調(diào)性，得到導數(shù)f′（x）的最小值為正數(shù)，故函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，不存在極值；
（2）由（1）可知在區(qū)間(0，

π

2

)上有f（x）＞f（0）=0，即f（x）＞0，根據(jù)這一結(jié)論變形可得sin³x＞x³cosx，從而證出g′(x)=-

2cosx

sin3x

+

2

x3

=

2(sin3x-x3cosx)

x3sin3x

＞0，在區(qū)間（0，

π

2

]上g（x）為單調(diào)增函數(shù)，從而函數(shù)g（x）的最大值為g(

π

2

) =1-

4

π2

．

解答：解：（1）∵f′（x）=

cosx3 cosx -sinx -sinx 3 3 cos2x

3 cos2x

-1=

3cos2x+sin2x

3cosx 3 cosx

-1…（2分）
=

2cosx 2+1

3cosx 3 cosx

-1
換元：設(shè)t=

3	cosx

，x∈（0，

π

2

），可得t∈（0，1），
∴f′（x）=

2t 6-3t 4+1

3t 4

令h（t）=2t⁶-3t⁴+1，則h/（t）=12t⁵-12t³=12t3（t²-1）＜0在t∈（0，1）時恒成立
所以h（t）在（0，1）上為單調(diào)減函數(shù)，
∴h(t)＞g(1)=0，即h(t)＞0
∵f′(x)=

2cos2x+1

3cosx 3 cosx

-1＞0∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，

π

2

)上是單調(diào)遞增的函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，

π

2

)上沒有極值．…（8分）
（2）由（1）可知在區(qū)間(0，

π

2

)上有f（x）＞f（0）=0，
即f（x）＞0；∴

sinx

3 cosx

-x＞0，
∴sinx＞x

3	cosx

進而sin3x＞x3cosx…（10分）
∵0＜x＜

π

2

∴g′(x)=-

2cosx

sin3x

+

2

x3

=

2(sin3x-x3cosx)

x3sin3x

＞0∴g(x)在區(qū)間(0，

π

2

]上單調(diào)遞增，
函數(shù)g（x）的最大值為g(

π

2

) =1-

4

π2

．

點評：本題主要考查利用導數(shù)求函數(shù)的極值，考查方程根的討論，屬于中檔題．著重考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，以及函數(shù)的零點和函數(shù)在某點取得極值的條件．