Question

12．如圖，拋物線的方程為y²=2px（p＞0），F(xiàn)為該拋物線的焦點(diǎn)，A是該拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，M是拋物線上一點(diǎn)，且滿足MA⊥MF．
（1）若p=2，求該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程；
（2）當(dāng)p值變化時(shí)，△MAF的面積是否存在最小值？若存在，求出最小值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)公式和準(zhǔn)線方程，即可得到；
（2）設(shè)出M的坐標(biāo)和A，F(xiàn)的坐標(biāo)，由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1和兩點(diǎn)的斜率公式，解方程求得m，再由三角形的面積公式計(jì)算即可判斷是否存在最小值．

解答 解：（1）當(dāng)p=2時(shí)，拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F（1，0），準(zhǔn)線方程為x=-1；
（2）設(shè)M（m，n），由題意可得A（-$\frac{p}{2}$，0），F(xiàn)（$\frac{p}{2}$，0），
由MA⊥MF，可得k_MF•k_MA=-1，
即$\frac{n}{m-\frac{p}{2}}$•$\frac{n}{m+\frac{p}{2}}$=-1，即有n²=$\frac{{p}^{2}}{4}$-m²，
又n²=2pm，即有2pm=$\frac{{p}^{2}}{4}$-m²，
解得m=（$\frac{\sqrt{5}}{2}$-1）p（負(fù)的舍去），
S_△MAF=$\frac{1}{2}$|AF|•|n|=$\frac{1}{2}$p$\sqrt{2pm}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{\sqrt{5}-2}$p²．
該函數(shù)在（0，+∞）上為增函數(shù)，則△MAF的面積不存在最小值．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，考查兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．