Question

19．已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），若y=$\frac{f（x）}{x}$在（0，+∞）上為增函數(shù)，則稱f（x）為“一階比增函數(shù)”；若y=$\frac{f（x）}{x^2}$在（0，+∞）上為增函數(shù)，則稱f（x）為“二階比增函數(shù)”．我們把所有“一階比增函數(shù)”組成的集合記為Ω₁，所有“二階比增函數(shù)”組成的集合記為Ω₂．
（1）已知函數(shù)f（x）=$\frac{{{x^{\frac{5}{2}}}arctanx}}{{\sqrt{x}}}$，判斷f（x）與集合Ω₁，Ω₂的關(guān)系，并證明你的判斷；
（2）已知函數(shù)f（x）=x³-2hx²-hx，若f（x）∈Ω₁且f（x）∉Ω₂，求實(shí)數(shù)h的取值范圍；
（3）已知0＜a＜b＜c，f（x）∈Ω₁且f（x）的部分函數(shù)值由下表給出，

x	a	b	c	a+b+c
f（x）	d	d	t	4

求證：d（2d+t-4）＞0．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一階比增函數(shù)，二階比增函數(shù)的定義分別求出集合Ω₁，Ω₂，然后進(jìn)行判斷即可；
（2）根據(jù)f（x）∈Ω₁且f（x）∉Ω₂，的關(guān)系即可求實(shí)數(shù)h的取值范圍；
（3）根據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)行證明．

解答 （1）f（x）∈Ω₁，f（x）∈Ω₂．
證明：$由f（x）=\frac{{{x^{\frac{5}{2}}}arctanx}}{{\sqrt{x}}}={x^2}arctanx，（x＞0）得$$\frac{f（x）}{x}=xarctanx（x＞0）；\frac{f（x）}{x^2}=arctanx，（x＞0）$，由反正切函數(shù)的性質(zhì)知：$\frac{f（x）}{x^2}=arctanx，（x＞0）為增函數(shù)，所以f（x）∈{Ω_2}$．$再證\frac{f（x）}{x}=xarctanx，（x＞0）為遞增，設(shè){x_2}＞{x_1}＞0，又因?yàn)閥=arctanx，（x＞0）$為增函數(shù)，
所以arctanx₂＞arctanx₁＞0，又x₂＞x₁＞0，x₂arctanx₂＞x₁arctanx₁，
即$\frac{f（x）}{x}=xarctanx\;（x＞0）$為遞增函數(shù)，所以f（x）∈Ω₁．
（2）因?yàn)閒（x）∈Ω₁，且f（x）∉Ω₂，
即$g（x）=\frac{f（x）}{x}={x^2}-2hx-h在（0，+∞）是增函數(shù)，所以h≤0$．
而$h（x）=\frac{f（x）}{x^2}=x-\frac{h}{x}-2h在（0，+∞）$不是增函數(shù)．
而當(dāng)h（x）是增函數(shù)時(shí)，有h≥0，所以當(dāng)h（x）不是增函數(shù)時(shí)，h＜0．
綜上，得h＜0．
（3）因?yàn)閒（x）∈Ω₁，且0＜a＜b＜c＜a+b+c，
所以$\frac{f（a）}{a}＜\frac{f（a+b+c）}{a+b+c}=\frac{4}{a+b+c}，所以f（a）=d＜\frac{4a}{a+b+c}$，
同理可證$f（b）=d＜\frac{4b}{a+b+c}，f（c）=t＜\frac{4c}{a+b+c}$．
三式相加得$f（a）+f（b）+f（c）=2d+t＜\frac{4（a+b+c）}{a+b+c}=4，所以2d+t-4＜0$．
因?yàn)?\fracvynonuu{a}＜\fraceiedxee，所以d（\frac{b-a}{ab}）＜0，而0＜a＜b，所以d＜0，所以d（2d+t-4）＞0$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考與函數(shù)單調(diào)性有關(guān)的新定義問題，正確理解題意是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．