Question

過拋物線y²=4x的焦點(diǎn)的直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．求△AOB的重心G的軌跡C的方程．

Answer 1

拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），當(dāng)直線l不垂直于x軸時，設(shè)方程為y=k（x-1），代入y²=4x，
得k²x²-x（2k²+4）+k²=0．
設(shè)l方程與拋物線相交于兩點(diǎn)，
∴k≠0．設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
根據(jù)韋達(dá)定理，有x₁+x₂=

2(k2+2)

k2

，
從而y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=

4

k

．
設(shè)△AOB的重心為G（x，y），
消去k，得x=

2

3

+

4

3

（

3

4

y）2，
則x=

0+x1+x2

3

=

2

3

+

4

3k2

，y=

0+y1+y2

3

=

4

3k

，
∴y²=

4

3

x-

8

9

．
當(dāng)l垂直于x軸時，A、B的坐標(biāo)分別為（1，2）和（1，-2），△AOB的重心G（

2

3

，0），也適合y²=

4

3

x-

8

9

，
因此所求軌跡C的方程為y²=

4

3

x-

8

9

．