Question

已知拋物線C：x²=4y，M為直線l：y=-1上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M作拋物線C的兩條切線MA，MB，切點(diǎn)分別為A，B．
（Ⅰ）當(dāng)M的坐標(biāo)為（0，-1）時(shí)，求過M，A，B三點(diǎn)的圓的方程；
（Ⅱ）證明：以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)M．

Answer 1

（Ⅰ）當(dāng)M的坐標(biāo)為（0，-1）時(shí)，設(shè)過M點(diǎn)的切線方程為y=kx-1，
由

x2=4y y=kx-1

，消y得x²-4kx+4=0，（1）
令△=（4k）²-4×4=0，解得：k=±1，
代入方程（1），解得A（2，1），B（-2，1），
設(shè)圓心P的坐標(biāo)為（0，a），由|PM|=|PB|，得a+1=2，解得a=1，
故過M，A，B三點(diǎn)的圓的方程為x²+（y-1）²=4；    
（Ⅱ）證明：設(shè)M（x₀，-1），由已知得y=

x2

4

，y′=

1

2

x，
設(shè)切點(diǎn)分別為A（x₁，

x12

4

），B（x₂，

x22

4

），
∴k_MA=

x1

2

，k_MB=

x2

2

，
切線MA的方程為y-

x12

4

=

x1

2

（x-x₁），即y=

1

2

x₁x-

1

4

x₁²，
切線MB的方程為y-

x22

4

=

x2

2

（x-x₂），即y=

1

2

x₂x-

1

4

x₂²，
又因?yàn)榍芯�MA過點(diǎn)M（x₀，-1），
所以得-1=

1

2

x₀x₁-

1

4

x₁²，①
又因?yàn)榍芯�MB也過點(diǎn)M（x₀，-1），
所以得-1=

1

2

x₀x₂-

1

4

x₂²，②
所以x₁，x₂是方程-1=

1

2

x₀x-

1

4

x²的兩實(shí)根，
由韋達(dá)定理得x₁+x₂=2x₀，x₁x₂=-4，
因?yàn)?span dealflag="1" mathtag="math" >

MA

=（x₁-x₀，

x12

4

+1），

MB

=（x₂-x₀，

x22

4

+1），
所以

MA

•

MB

=（x₁-x₀）（x₂-x₀）+（

x12

4

+1）（

x22

4

+1）
=x₁x₂-x₀（x₁+x₂）+x₀²+

x12x22

16

+

1

4

（x₁²+x₂²）+1
=x₁x₂-x₀（x₁+x₂）+x₀²+

x12x22

16

+

1

4

[（x₁+x₂）²-2x₁x₂]+1，
將x₁+x₂=2x₀，x₁x₂=-4代入，得

MA

•

MB

=0，
則以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)M．