Question

14．α，β都是銳角，且sinα=$\frac{5}{13}$，cos（α+β）=-$\frac{4}{5}$，則cosβ的值是（　�。�

• A． -$\frac{33}{65}$
• B． $\frac{16}{65}$
• C． $\frac{56}{65}$
• D． $\frac{63}{65}$

Answer 1

分析 由α，β都是銳角求出α+β的范圍，由題意和平方關系求出cosα和sin（α+β），由兩角差的余弦公式求出cosβ=cos[（α+β）-α]的值．

解答 解：∵α，β都是銳角，∴α+β∈（0，π），
∵sinα=$\frac{5}{13}$，cos（α+β）=-$\frac{4}{5}$，
∴cosα=$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=$\frac{12}{13}$，sin（α+β）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（α+β）}$=$\frac{3}{5}$，
∴cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα
=-$\frac{4}{5}$×$\frac{12}{13}$+$\frac{3}{5}$×$\frac{5}{13}$=$-\frac{33}{65}$，
故選：A．

點評 本題考查兩角差的余弦公式，同角三角函數的基本關系的應用，注意角之間的關系以及三角函數值的符號，屬于中檔題．