Question

已知在（-）ⁿ的展開(kāi)式中，第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)．
（1）求n；
（2）求含x²的項(xiàng)的系數(shù)；
（3）求展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng)．

Answer 1

解：（1）通項(xiàng)公式為
T_r+1=C_n^rx（-3）^rx-=C_n^r（-3）^rx．
∵第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，
∴r=5時(shí)，有=0，
∴n=10．
（2）令=2，
得r=（n-6）=2，
∴所求的系數(shù)為C₁₀²（-3）²=405．

（3）根據(jù)通項(xiàng)公式，由題意，得
令=k（k∈Z），則10-2r=3k，r=5-k．
∵r∈N，∴k應(yīng)為偶數(shù)．故k可取-2，0，2，即r可取2，5，8，
所以第3項(xiàng)、第6項(xiàng)、第9項(xiàng)為有理項(xiàng)，它們分別為：C₁₀²（-3）²x²、C₁₀²（-3）⁵、C₁₀⁸（-3）⁸x^-2．
分析：（1）利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出通項(xiàng)，令r=5時(shí)x的指數(shù)為0，求出n．
（2）將n的值代入通項(xiàng)，令x的指數(shù)為2，求出展開(kāi)式中含x²的項(xiàng)的系數(shù)．
（3）令通項(xiàng)中x的指數(shù)為整數(shù)，求出展開(kāi)式的有理項(xiàng)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)問(wèn)題．