Question

3．記不等式組$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x+{y}^{2}≥0}\\{1≤x≤2}\\{-1≤y≤1}\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域?yàn)棣�，P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）是Ω內(nèi)的任意點(diǎn)，則z=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂的最大值是（　�。�

• A． 2
• B． $\sqrt{2}$
• C． 1
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 畫出不等式組表示的可行域，化簡所求表達(dá)式利用基本不等式求解最值．

解答 解：不等式組$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x+{y}^{2}≥0}\\{1≤x≤2}\\{-1≤y≤1}\end{array}\right.$轉(zhuǎn)化為：$\left\{\begin{array}{l}{（x-1）^{2}+{y}^{2}≥1}\\{1≤x≤2}\\{-1≤y≤1}\end{array}\right.$，如圖：
P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）是Ω內(nèi)任意一點(diǎn)，z=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂，
∵-1≤y≤1，∴y₁y₂≤1，
∵x₁+x₂≥2$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$．
z=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂
=y₁y₂+1+x₁x₂-（x₁+x₂）≤2+x₁x₂-2$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$
=（$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}-1$）²+1．
x₁x₂≤4．
1≤$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$≤2．
所以z≤2．
∴z=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂的最大值是2．
故選A．

點(diǎn)評 本題考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，考查基本不等式以及線性規(guī)劃，考查分析問題解決問題的能力．