Question

如圖，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分別是PC，PA的中點(diǎn)，且PA=AB=2AD．
（I）求二面角P-AB-M的余弦值大��；
（Ⅱ）在線段AD上是否存在一點(diǎn)G，使GM⊥平面PBC？若不存在，說明理由；若存在，確定點(diǎn)c的位置．

Answer 1

【答案】分析：（I）設(shè)PA=AB=2AD=2，以AD為x軸，以AB為y軸，以AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角P-AB-M的余弦值．
（Ⅱ）假設(shè)線段AD上是存在一點(diǎn)G（x，0，0），使GM⊥平面PBC，則=（，1，1），，，由GM⊥平面PBC，知，=0，由此能推導(dǎo)出線段AD的中點(diǎn)G，使GM⊥平面PBC．
解答：解：（I）設(shè)PA=AB=2AD=2，
以AD為x軸，以AB為y軸，以AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），P（0，0，2），B（0，2，0），C（1，2，0），
∴M（，1，1），，=（0，2，0），
設(shè)平面ABM的法向量=（x，y，z），則，=0，
∴，∴=（2，0，-1），
∵平面APB的法向量=（1，0，0），
∴二面角P-AB-M的余弦值cosθ=|cos＜＞|=||=．
（Ⅱ）假設(shè)線段AD上是存在一點(diǎn)G（x，0，0），使GM⊥平面PBC，
則=（，1，1），，，
∵GM⊥平面PBC，∴，=0，
∴，
∴，
∴G（1，0，0），
∴線段AD的中點(diǎn)G，使GM⊥平面PBC．
點(diǎn)評(píng)：本題考查平面的二面角的余弦值的求法，考查滿足條件的點(diǎn)的存在性的探索．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意向量法的合理運(yùn)用．