Question

14．已知函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜$\frac{π}{2}$）的最大值為2$\sqrt{2}$，最小值為$-\sqrt{2}$，周期為$\frac{2π}{3}$，且圖象過(guò)點(diǎn)（0，-$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$），
（1）這個(gè)函數(shù)的解析式；
（2）寫(xiě)出函數(shù)的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)的周期求得ω 的值，由函數(shù)的最值求得A，B，根據(jù)圖象過(guò)定點(diǎn)出φ的值，從而求得函數(shù)的解析式．
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心即可求出．

解答 解：（1）函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜$\frac{π}{2}$）的最大值為2$\sqrt{2}$，最小值為$-\sqrt{2}$，周期為$\frac{2π}{3}$，
∴B=$\frac{1}{2}$（2$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，A=$\frac{1}{2}$（2$\sqrt{2}$+$\sqrt{2}$）=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∵T=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{3}$，
∴ω=3，
∵圖象過(guò)點(diǎn)（0，-$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$），
∴$\frac{3\sqrt{2}}{2}$sin（3×0+φ）+$\frac{\sqrt{2}}{2}$=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴sinφ=-$\frac{1}{2}$，
∵|ϕ|＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=-$\frac{π}{6}$，
∴y=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$sin（3x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{\sqrt{2}}{2}$
（2）令3x-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，
∴對(duì)稱軸為x=$\frac{kπ}{3}$-$\frac{2π}{9}$，k∈z，
令3x-$\frac{π}{6}$=kπ得對(duì)稱中心（$\frac{kπ}{3}$+$\frac{π}{18}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），k∈z．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了由三角函數(shù)的部分圖象求函數(shù)的解析式．解題的關(guān)鍵是對(duì)三角函數(shù)解析式中振幅，周期和初相的關(guān)系的靈活應(yīng)用，屬于中檔題