Question

12．已知函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），值域為R，對任意正數(shù)x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y），當(dāng)x＞1時f（x）＜0且f（3）=-1．
（1）求f（1）、f（9）、f（$\frac{1}{9}$）的值．
（2）若不等式f（2-x）＜2成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）對于任意的x，y∈（0，+∞），f（x•y）=f（x）+f（y），令x=y=1，x=y=3，即可求得f（1）、f（$\frac{1}{9}$）的值；
（2）當(dāng)x＞1時，f（x）＜0，確定函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性把函數(shù)值不等式轉(zhuǎn)化為自變量不等式，解不等式即可求得結(jié)果．

解答 解：（1）令x=y=1易得f（1）=0．
f（9）=f（3）+f（3）=-1-1=-2
f（9）+f（$\frac{1}{9}$）=f（1）=0，得f（$\frac{1}{9}$）=2．
（2）設(shè)0＜x₁＜x₂，由條件（1）可得f（x₂）-f（x₁）=f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$），
因$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，所以知f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＜0，
所以f（x₂）＜f（x₁），
即f（x）在R₊上是遞減的函數(shù)．
不等式f（2-x）＜2可化為f（2-x）＜f（$\frac{1}{9}$），
所以0＜2-x＜$\frac{1}{9}$，
所以$\frac{17}{9}$＜x＜2．

點(diǎn)評 考查利用函數(shù)單調(diào)性的定義探討抽象函數(shù)的單調(diào)性問題，對于解決抽象函數(shù)的一般采用賦值法，求某些點(diǎn)的函數(shù)值和證明不等式等，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．