Question

定長(zhǎng)為3的線段AB的端點(diǎn)A、B在拋物線y²=x上移動(dòng)，求AB中點(diǎn)到y(tǒng)軸距離的最小值，并求出此時(shí)AB中點(diǎn)M的坐標(biāo).

Answer 1

解：如圖，設(shè)F是拋物線y²=x的焦點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)到準(zhǔn)線的垂線分別是AC、BD，M點(diǎn)到準(zhǔn)線的垂線為MN，N為垂足，則|MN|=（|AC|+|BD|），

根據(jù)拋物線定義得：|AC|=|AF|，|BD|=|BF|，

∴|MN|=（|AF|+|BF|）≥.

設(shè)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，則：|MN|=x+.∴x=|MN|-≥-=.

等號(hào)成立的條件是弦AB過(guò)點(diǎn)F，由于|AB|＞2p=1,

∴AB過(guò)焦點(diǎn)是可能的，此時(shí)M點(diǎn)到y(tǒng)軸最短距離是，即AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為.當(dāng)F在AB上時(shí)，設(shè)A、B的縱坐標(biāo)分別為y₁、y₂，則y₁y₂=-p²=-,從而（y₁+y₂）²=y₁²+y₂²+2y₁y₂=2×-=2.

∴y₁+y₂=±,∴此時(shí)AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為±，

∴M的坐標(biāo)為（，±）時(shí)，M到y(tǒng)軸距離的最小值為.

點(diǎn)撥：此題的難點(diǎn)是求最小值.而利用拋物線定義及梯形中位線性質(zhì)等幾何知識(shí)使問(wèn)題變得非常簡(jiǎn)單，這再一次說(shuō)明在解題中注意運(yùn)用圓錐曲線的定義及有關(guān)的幾何知識(shí)，對(duì)解題是非常有益的.