Question

已知等差數(shù)列{a_n}的公差大于0，且a₃，a₅是方程x²－14x＋45＝0的兩根，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)的和為S_n，且S_n＝1－b_n.

(1)求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；

(2)記c_n＝a_n·b_n，求證：c_n＋1≤c_n.

Answer 1

(1)解析：因?yàn)?i>a₃，a₅是方程x²－14x＋45＝0的兩根，且數(shù)列{a_n}的公差d>0，

∴a₃＝5，a₅＝9，公差d＝＝2.

∴a_n＝a₅＋(n－5)d＝2n－1(n∈N^*)．

又當(dāng)n＝1時(shí)，有b₁＝S₁＝1－b₁，∴b₁＝.

當(dāng)n≥2時(shí)，有b_n＝S_n－S_n－1＝(b_n－1－b_n)，

∴＝(n≥2)，

∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，b₁＝，q＝.

∴b_n＝b₁q^n－1＝(n∈N^*)．

(2)證明：由(1)知c_n＝a_nb_n＝，c_n＋1＝，

∴c_n＋1－c_n＝≤0.

∴c_n＋1≤c_n.