Question

（2013•松江區(qū)二模）已知橢圓

x2

25

+

y2

16

=1內(nèi)有兩點(diǎn)A（1，3），B（3，0），P為橢圓上一點(diǎn)，則|PA|+|PB|的最大值為

15

．

Answer 1

分析：根據(jù)橢圓的方程，算出它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為B（3，0）和B'（-3，0）．因此連接PB'、AB'，根據(jù)橢圓的定義得|PA|+|PB|=|PA|+（2a-|PB'|）=10+（|PA|-|PB'|）．再由三角形兩邊之差小于第三邊，得到當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P在AB'延長(zhǎng)線上時(shí)，|PA|+|PB|=
10+|AB'|=15達(dá)到最大值，從而得到本題答案．

解答：解：∵橢圓方程為

x2

25

+

y2

16

=1，
∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為B（3，0）和B'（-3，0）
連接PB'、AB'，根據(jù)橢圓的定義，得|PB|+|PB'|=2a=10，可得|PB|=10-|PB'|
因此，|PA|+|PB|=|PA|+（10-|PB'|）=10+（|PA|-|PB'|）
∵|PA|-|PB'|≤|AB'|
∴|PA|+|PB|≤10+|AB'|=10+

(1+3)2+(3-0)2

=10+5=15
當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P在AB'延長(zhǎng)線上時(shí)，等號(hào)成立
綜上所述，可得|PA|+|PB|的最大值為15
故答案為：15

點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓內(nèi)部一點(diǎn)A，求橢圓上動(dòng)點(diǎn)P與A點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)距離B和的最大值，著重考查了橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．