Question

11．若命題“存在實(shí)數(shù)x，使得（a-2）x²+2（a-2）x-4≥0成立”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-2，2]．

Answer 1

分析 由原命題的否定為真命題得到?實(shí)數(shù)x，使得（a-2）x²+2（a-2）x-4＜0成立，然后分二次項(xiàng)系數(shù)為0和不為0討論，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不為0時(shí)，需要二次項(xiàng)系數(shù)小于0，且判別式小于0求解．

解答 解：命題“存在實(shí)數(shù)x，使得（a-2）x²+2（a-2）x-4≥0成立”是假命題，
則其否定為“?實(shí)數(shù)x，使得（a-2）x²+2（a-2）x-4＜0成立”是真命題，
當(dāng)a=2時(shí)，原不等式化為-4＜0恒成立；
當(dāng)a≠2時(shí)，則$\left\{\begin{array}{l}{a-2＜0}\\{△=4（a-2）^{2}+16（a-2）＜0}\end{array}\right.$，解得-2＜a＜2．
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-2，2]．
故答案為：（-2，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了復(fù)合命題的真假判斷，訓(xùn)練了不等式恒成立的解法，是中檔題．