Question

已知函數(shù)定義在上，對(duì)任意的，，且.

（1）求，并證明：；

（2）若單調(diào)，且.設(shè)向量，對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

（1） （2）

【解析】

試題分析：（1）借助于特殊值得，然后把變形

= 即可，（2） 首先判斷出函數(shù)是增函數(shù)，然后找出，代入整理的，最后用分類討論的思想方法求出即可.

（1）令得，又∵，， 2分

由得=，

∵，∴. 5分

（2） ∵，且是單調(diào)函數(shù)，∴是增函數(shù). 6分

而，∴由，得，

又∵因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111721112699195027/SYS201411172111436332791085_DA/SYS201411172111436332791085_DA.020.png">是增函數(shù)，∴恒成立，.

即. 8分

令，得 (﹡).

∵，∴，即.

令， 10分

①當(dāng)，即時(shí)，只需，(﹡)成立，

∴，解得； 11分

②當(dāng)，即時(shí)，只需，(﹡)成立，

∴，解得，∴. 12分

③當(dāng)，即時(shí)，只需，(﹡)成立，

∴， ∴， 13分

綜上，. 14分

考點(diǎn)：抽象函數(shù)；函數(shù)的單調(diào)性；向量的數(shù)量積公式；不等式恒成立的問(wèn)題；分類討論的思想方法.