Question

3．已知銳角α，β滿足：cosα=$\frac{1}{3}$，cos（α+β）=-$\frac{1}{3}$，則cos（α-β）=（　�。�

• A． -$\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． -$\frac{1}{3}$
• D． $\frac{23}{27}$

Answer 1

分析 由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得sinα和sin（α+β），由兩角差的余弦公式可得cosβ的值，然后再由同角三角函數(shù)基本關(guān)系和兩角差的余弦公式可得．

解答 解：∵α，β為銳角，∴0＜α+β＜π，
∵cosα=$\frac{1}{3}$，cos（α+β）=-$\frac{1}{3}$，
∴sinα=$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴sin（α+β）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（α+β）}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴cosβ=cos[（α+β）-α]
=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα
=$-\frac{1}{3}×\frac{1}{3}+\frac{2\sqrt{2}}{3}×\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{7}{9}$，
∴sinβ=$\sqrt{1-co{s}^{2}β}$=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$，
∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ
=$\frac{1}{3}×\frac{7}{9}+\frac{2\sqrt{2}}{3}×\frac{4\sqrt{2}}{9}$=$\frac{23}{27}$．
故選：D．

點評 本題考查兩角和與差的三角函數(shù)公式，涉及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬中檔題．