Question

某化工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的生產(chǎn)成本是3元，根據(jù)市場調(diào)查，預計每件產(chǎn)品的出廠價為x元（7≤x≤10）時，一年的產(chǎn)量為（11﹣x）²萬件．但為了保護環(huán)境，用于污染治理的費用與產(chǎn)量成正比，比例系數(shù)為常數(shù)a（1≤a≤3）．若該企業(yè)所生產(chǎn)的產(chǎn)品全部銷售．
（1）求該企業(yè)一年的利潤L（x）與出廠價x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當每件產(chǎn)品的出廠價定為多少元時，企業(yè)一年的利潤最大，并求最大利潤．

Answer 1

解：（1）依題意，利潤函數(shù)L（x）=一件產(chǎn)品的利潤×一年的產(chǎn)量﹣污染治理費用，
代入數(shù)據(jù)得：
利潤函數(shù)L（x）=（x﹣3）（11﹣x）²﹣a（11﹣x）²
=（x﹣3﹣a）（11﹣x）²，x∈[7，10]．
（2）對利潤函數(shù)求導，得L′（x）
=（11﹣x）²﹣2（x﹣3﹣a）（11﹣x）
=（11﹣x）（11﹣x﹣2x+6+2a）
=（11﹣x）（17+2a﹣3x）；
由L′（x）=0，得x=11（舍去）或x= ；
因為1≤a≤3，所以 ≤ ≤ ；
所以，①當 ≤ ≤7，即1≤a≤2時，
L′（x）在[7，10]上恒為負，則L（x）在[7，10]上為減函數(shù)，
所以[L（x）]_max=L（7）=16（4﹣a）
②當7＜ ≤ ，即2＜a≤3時，
L′（x）在（7， ）上為正，L（x）是增函數(shù)；
L′（x）在（ ，10]上為負，L（x）是減函數(shù)，
所以[L（x）]_max=L（ ）= （8﹣a）³．
即當1≤a≤2時，則每件產(chǎn)品出廠價為7元時，年利潤最大，為16（4﹣a）萬元．
當2＜a≤3時，則每件產(chǎn)品出廠價為 元時，年利潤最大，為 （8﹣a）³萬元．